Investigación de operaciones modelos y aplicaciones de programación lineal

I. LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, USO DE MODELOS Y METODOS DE OPTIMIZACION

I.1 INTRODUCCION A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1. Un poco de Historia

Se inicia desde la revolución industrial, en los libros se dice que fue a partir de la segunda Guerra Mundial. La investigación de operaciones se aplica a casi todos los problemas. En 1947, en EE.UU., George Datzing encuentra el método simplex para el problema de programación lineal. En la investigación de operaciones, las computadoras son la herramienta fundamental en la investigación de operaciones.

2. Definición

La Investigación de Operaciones, es la aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario de personas a un problema, principalmente relacionado con la distribución eficaz de recursos limitados (dinero, materia prima, mano de obra, energía), que apoyados con el enfoque de sistemas (este enfoque, es aquel en el que un grupo de personas con distintas áreas de conocimiento, discuten sobre la manera de resolver un problema en grupo.). Puede considerarse tanto un arte como una ciencia. Como arte refleja los conceptos eficiente y limitado de un modelo matemático definido para una situación dada. Como ciencia comprende la deducción de métodos de cálculo para resolver los modelos.

2.1 Pasos del Método científico en IO

1. Definición del problema.- Desde el punto de vista de la Investigación de operaciones(IO),esto indica tres aspectos principales:(a)Una descripciónde la meta o el objetivo del estudio,(b)Una Identificación de las alternativas de decisión y (c) Un reconocimiento de las limitaciones, restricciones y requisitos del sistema

2. Construcción del Modelo. Dependiendo de la definición del problema, el equipo de investigación de operaciones deberá decidir sobre el modelo mas adecuado para representar el sistema (modelo matemático, modelo de simulación; combinación de modelos matemáticos, de simulación y heurísticos)

3. Solución del Modelo.- En modelos matemáticos esto se logra usando técnicas de optimización bien definidas y se dice que el modelo proporciona una solución optima. Si se usan los modelos de simulación o heurísticos el concepto de optimalidad no esta bien definido, y la solución en estos casos se emplea para obtener evaluaciones aproximadas de las medidas del sistema

4.Validación del Modelo.- Un modelo es valido si, independientemente de sus inexactitudes al representar el sistema, puede dar una predicción confiable del funcionamiento del sistema

5. Implantación de los resultados Finales.-La tarea de aplicar los resultados probados del sistema recae principalmente en los investigadores de operaciones. Esto básicamente implicaría la traducción de estos resultados en instrucciones de operación detallada, emitidas en una forma comprensible a los individuos que administraran y operaran el sistema después. La interacción del equipo de investigación de operaciones y el personalde operación llegara a su máximo en esta fase.

I.2 TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

Un modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. El objetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos no simplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que, mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus relaciones.



Fig.1.2: Representación de un modelo

1. Modelos Matemáticos

Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnicamatemática y se obtiene una representación simbólica del mismo. Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:


Variables de decisión y parámetros

Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valoresconocidos del sistema o bien que se pueden controlar.


Restricciones

Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo.


Función Objetivo

La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2,..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2,..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,..., xn) ? b. Donde x1, x2,..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática.

EJEMPLO 1.2.1: Sean X1 y X2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como:

MinZ = 3X1 + 5X2 (Costo total de Producción)

Sujeto a (S.A):

8X1 + 7X2 ? 500 (Tiempo total de producción)

X1, X2>= 0 (Restricciones de no negatividad)

EJEMPLO 1.2.2: En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B,antes antes de salir a la venta.El producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido por cada producto:


Producto

Maquina A

Maquina B


1

2 H

3 H


2

4 H

2 H


Total disponible

48 H

36 H


Para representar el modelo de este problema primero se debe determinar las variables de decisión: Sea Xi: La cantidad a fabricar del producto 1 y 2 (i=1,2), entonces X1: cantidad a fabricar del producto 1, X2: cantidad a fabricar del producto2, luego el modelo quedaría de la siguiente manera:

MaxZ = 60X1+ 50X2 (máximo ingreso por ventas)

S.A: 2X1+ 4X2 <= 48 (disponibilidad horas _maquina A)

3X1+ 2X2 <= 36 (disponibilidad horas _maquina B)

X1, X2 >= 0 (Restricciones de no negatividad)

2. Modelos de Simulación

La simulación es una técnica para crear modelos de sistemas grandes y complejos que incluyen incertidumbre. Se diseña un modelo para repetir el comportamiento del sistema. Este tipo de modelamiento se basa en la división del sistema en módulos básicos o elementales que se enlazan entre sí mediante relaciones lógicas bien definidas (de la forma SI / ENTONCES). El desarrollo de un modelo de simulación es muy costoso en tiempo y recursos.